Με κοινή απόφαση των Υπουργών Εσωτερικών, Υγείας και Οικονομικών, καταρτίζεται ο οργανισμός του ΕΟΔΥ, με τον οποίον συνιστώνται οι οργανικές θέσεις και ρυθμίζονται η διοίκηση, η οργάνωση, η διαχείριση και η λειτουργία του, τα θέματα που αφορούν στο προσωπικό του, στις λειτουργικές σχέσεις του Οργανισμού με τους λοιπούς εμπλεκόμενους φορείς και οργανισμούς, καθώς και κάθε άλλο σχετικό θέμα. Με όμοια απόφαση, μπορεί να συνιστώνται, να καταργούνται ή να τροποποιούνται οι Γενικές Διευθύνσεις, οι Διευθύνσεις ή τα Τμήματα, πέραν αυτών που προβλέπονται στο άρθρο 9, όπως επίσης να προβλέπονται οργανικές θέσεις νομικού συμβούλου, προϊσταμένου νομικής υπηρεσίας και δικηγόρων με έμμισθη εντολή.